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...ma quando è Pasqua?

di Federico Borsari




Gli amici che seguono queste pagine dall'ormai lontano 1996 sanno che ogni tanto ci piace "evadere" dalle organistiche cose per affrontare argomenti differenti. Nell'imminenza della Santa Pasqua, siamo andati a "ripescare" un nostro vecchio articolo di dodici anni fa in cui ci chiedevamo con quali metodi si poteva calcolare la data della Pasqua. In parole povere, la domanda era: Quando cade la Pasqua?
Risposta facile! Si guarda il calendario e lo si vede. Ma, ad esempio, se qualcuno vi chiedesse quando cadrà la Pasqua nell'anno 2027 oppure nell'anno 2076 sapreste rispondere? Evidentemente no, ma noi qui possiamo anticiparvi che nel 2027 sarà il 28 Marzo mentre nel 2076 la Pasqua cadrà il 19 Aprile.
Stupiti?... No, non abbiamo la "palla di vetro". Più semplicemente siamo andati a dare un'occhiata alle tabelle che vengono utilizzate dalla Chiesa Cattolica e che prevedono le date della Pasqua per centinaia di anni. Ma, poichè anche la Chiesa Cattolica, nonostante gli "agganci" divini che può vantare, non ha la "palla di vetro", chi le dà la possibilità di prevedere la data di una festa "mobile", che cioè non cade mai lo stesso giorno (ma sempre di Domenica)? Si tratta di complessi calcoli astronomici e matematici che nel corso dei secoli sono stati elaborati e che, oggi, ci consentono, con semplici algoritmi computerizzati, di farlo con assoluta precisione.
E' una storia lunga e Giulio, Augusto, Luigi, Gregorio e Carlo Federico ne sono i protagonisti. Ma procediamo con ordine.


Molti si chiederanno il motivo per cui la Pasqua, diversamente dalle altre Festività che ricorrono sempre lo stesso giorno (e che per questo vengono definite "Feste Fisse", tra le quali possiamo annoverare il Natale), ogni anno si verifica in un giorno diverso (e per questo motivo viene definita come una "Festa Mobile"), pur essendo sempre fissata nel giorno settimanale di Domenica.
Per capire questo problema, occorre andare indietro nel tempo e, più precisamente, al 325 dopo Cristo quando, al Concilio di Nicea, si presentò il problema della mancata corrispondenza del calendario allora in vigore con il succedersi delle stagioni.
In effetti a quel tempo era ancora in vigore il cosidetto "Calendario Giuliano", che era stato introdotto da Giulio Cesare nel 46 avanti Cristo e che aveva corretto il precedente calendario, molto impreciso, che aveva causato uno sfasamento di tre mesi sull'andamento delle stagioni (in effetti in quegli anni l'estate, secondo il calendario in vigore, iniziava ad Ottobre). Giulio Cesare modificò il metodo di conteggio dei giorni e stabilì che l'anno sarebbe stato conteggiato in 365 giorni, 5 ore e 55 minuti. Questo metodo comportava un errore di sfasamento che doveva venire corretto mediante l'inserimento di un giorno aggiuntivo al mese di Febbraio (che allora contava 29 giorni) tra il giorno 24 ed il giorno 25; poichè il 25 Febbraio era il sesto dalle Calende di Marzo ("sexto calendas"), il giorno inserito prima di esso venne denominato "bis sexto calendas", da cui il termine "bisestile" che caratterizza tuttora gli anni in cui il mese di Febbraio conta un giorno in più.
Alla morte di Giulio Cesare, per ricordare questo fatto, venne deciso di ribattezzare il mese di "Quintile" con il nome di "Iulius", l'attuale Luglio.
Il Calendario Giuliano venne in seguito ulteriormente modificato, nell' 8 avanti Cristo, dall'imperatore Augusto, che corresse alcuni errori che erano stati fatti negli anni precedenti e che modificò la durata di alcuni mesi per adeguarli al corretto succedersi delle stagioni. In quell'occasione il mese "Sestile" fu ribattezzato, in suo onore, come "Augustus", l'attuale Agosto.
E finalmente arriviamo al Concilio di Nicea, in cui fu posta la questione del Calendario.
In effetti il Calendario Giuliano, anche se corretto da Augusto, faceva durare l'anno 7 minuti in più della durata astronomica. Se questo scarto poteva apparire trascurabile a breve termine, nel corso dei secoli portò ad un notevole sfasamento tra il calcolo delle stagioni ed il loro effettivo succedersi. E' importante, a questo proposito, ricordare che astronomicamente l'anno inizia nell'equinozio di Primavera ed è per questo che ancora oggi nel linguaggio comune la Primavera è considerata come la prima stagione dell'anno.
In effetti, nell'anno 325 l'equinozio di Primavera, che i calcoli del calendario Giuliano prevedevano per il 25 Marzo, si era astronomicamente verificato quattro giorni prima. In questa occasione il Concilio di Nicea (cioè la Chiesa) si limitò a "prendere atto" di questo anticipo e stabilì che da quel momento l'equinozio di Primavera avrebbe dovuto sempre essere considerato nel giorno 21 Marzo.
In quell'occasione -e qui cominciamo a trovare un cenno al nostro problema principale- venne stabilito che la Pasqua si sarebbe dovuta celebrare nella prima Domenica successiva al primo plenilunio che si verifica dopo l'Equinozio di Primavera. Entrambe le disposizioni sono tuttora in vigore ed è sulla base di esse che si effettuano i calcoli per determinare la data della Pasqua.
Ma, non essendo state introdotte variazioni al sistema di calcolo del calendario, quell'errore di sette minuti (che poi erano diventati dodici nel corso del tempo), portò ad un ulteriore e progressivo sfasamento del calendario rispetto alle stagioni astronomiche; le proposte di riforma del calendario si succedettero nei secoli fino a che, nel 1582, il problema venne finalmente affrontato (anche perchè in quell'anno l'equinozio di Primavera si era verificato l' 11 Marzo, ed ormai lo scarto era tale non solo da rendere impossibile la determinazione della data della Pasqua, ma cominciava a rendere troppo evidente la differenza tra le stagioni "vere" e quelle "ufficiali").
Furono studiate diverse soluzioni, ma l'apposita Commissione voluta dal Papa Gregorio XIII decise di adottare quella proposta dall'astronomo calabrese Aloysius Lilius (Luigi Giglio), che prevedeva l'abolizione di dieci giorni dell'anno in corso, in modo da ripristinare la concomitanza dell'Equinozio astronomico con quello del Calendario nel giorno 21 Marzo.
La decisione che venne presa fu quella di abolire dieci giorni del mese di Ottobre e, quindi, nell'anno 1582 dal giorno 4 Ottobre si passò direttamente al giorno 15 Ottobre.
Per la cronaca, questo "furto" di giornate non fu gradito da molti Stati, che attesero qualche tempo per adeguarsi. Se il Portogallo lo adottò lo stesso giorno 4 Ottobre, la cattolicissima Spagna lo inserì il 15 Ottobre, la Francia attese oltre un anno, l'Austria due anni e, soprattutto, i Paesi di religione protestante resistettero fino a che l'ultimo ad introdurlo fu l'Inghilterra, che lo adottò il 3 Settembre 1752, ben 170 anni dopo. I più "coriacei" furono i Paesi di religione greco-ortodossa, che adottarono questo sistema solo nel 1917 e che, comunque, sotto l'aspetto liturgico, continuano ancora oggi ad osservare il vecchio calendario giuliano.
Ma togliere dieci giorni, da solo, non bastava ad evitare che l'errore si ripetesse nei secoli seguenti. Ecco quindi che vennero introdotte alcune significative variazioni al sistema di calcolo.
Come prima cosa, si stabilì che gli anni "secolari" (cioè che sono divisibili per 100) non devono essere bisestili. Fu però introdotta un'eccezione a questa regola: rimangono bisestili gli anni "secolari" che, pur essendo divisibili per 100, sono anche divisibili per 400.
L'applicazione di queste due piccole regole nell'effettuazione dei calcoli del calendario consentiva di determinare la durata "matematica" dell'anno in 365 giorni, 5 ore, 49 minuti e 12 secondi. Se consideriamo che l'anno "astronomico" dura 365 giorni, 5 ore, 48 minuti e 46 secondi, lo scarto rimane di soli 26 secondi, e questo ci testimonia di quanto accurati siano stati i calcoli di Luigi Giglio, secondo i quali per arrivare ad una differenza di un giorno tra il calendario e le stagioni astronomiche dovremo attendere l'anno 4905, esattamente 3323 anni dopo il 1582.
Ovviamente, anche in questo caso, per celebrare l'avvenimento e ricordare il Papa Gregorio XIII che aveva "sistemato per le Feste" il Calendario, quest'ultimo venne denominato "Calendario Gregoriano", denominazione tuttora vigente.
Di conseguenza fu risolto anche il problema del calcolo della data della Pasqua.
Abbiamo detto che la regola dettata dal Concilio di Nicea stabilisce che la Pasqua deve cadere la prima Domenica successiva al primo plenilunio che si verifica dopo l'equinozio di Primavera. In questo modo, secondo i calcoli del Calendario Giuliano, la Pasqua può "cadere" nel periodo compreso tra il 22 Marzo ed il 25 Aprile, non un giorno prima nè un giorno dopo.
Per capire il motivo della determinazione di questo periodo, dobbiamo prima di tutto considerare che, essendo il calcolo basato su di un Plenilunio, cioè sul momento in cui si verifica la "Luna Piena" (quella segnata in bianco sul calendario), bisogna tenere presente il periodo che impiega la Luna ad effettuare un ciclo completo, cioè quanto tempo intercorre tra una Luna Piena e quella successiva. Questo periodo, che si chiama "Mese Sinodico", è astronomicamente definito in 29 giorni, 12 ore, 44 minuti, 2 secondi e 78 decimi, ma nel calcolo della Pasqua possiamo comodamente arrotondare il tutto a 29 giorni.
Per definire il periodo entro cui può "cadere" la Pasqua, tenendo presente che l'Equinozio di Primavera è stabilito nel 21 Marzo, si può ragionare nel seguente modo:

Per definire il giorno di inizio del periodo:
- Se il Plenilunio avviene il 21 Marzo (stesso giorno dell'Equinozio) ed è Sabato, la Pasqua "cade" la Domenica successiva, cioè il giorno seguente: 22 Marzo;
- Se il Plenilunio avviene il 21 Marzo (stesso giorno dell'Equinozio) ed è un altro giorno della settimana, la Pasqua "cade" la Domenica successiva, ciòè un giorno comunque successivo al 22 Marzo.

Per definire l'ultimo giorno del periodo, invece, si tiene conto del caso "peggiore" che possa capitare, cioè:
- Se il plenilunio si verifica il 20 Marzo, cioè il giorno precedente all'Equinozio di Primavera, dobbiamo attendere il Plenilunio successivo, che -come abbiamo detto prima- si verificherà ventinove giorni dopo, il 18 Aprile. Sempre nell'ipotesi peggiore, se questo giorno è Domenica, la Pasqua cadrà nella Domenica successiva, che è il 25 Aprile.

Ora, dopo aver stabilito il periodo, bisogna riuscire a stabilire anche il giorno esatto della Pasqua.
Poichè i dati necessari alla risoluzione del problema sono l'Equinozio di Primavera, il primo plenilunio ad esso seguente e la successione delle domeniche nell'anno, stante il fatto che la regola stabilisce nel 21 Marzo la data dell'Equinozio, non ci rimane che trovare la data del primo plenilunio dopo l'Equinozio e sapere in quali giorni dell'anno "cadranno" le domeniche.
Circa il primo problema, se questo è facile nel momento in cui esso si verifica (è sufficiente guardare il cielo, a patto che non sia nuvoloso....), riuscire a trovare la data esatta del plenilunio per gli anni ed i decenni futuri diventa molto più difficile e, purtroppo, la Chiesa deve stabilire la data della Pasqua non solo per gli anni, ma anche per i decenni ed i secoli futuri. A queste condizioni, l'osservazione astronomica diventa inutile e ci si deve affidare a formule matematiche che forniscano risultati il più possibile corretti.
Già al Concilio di Nicea, dopo aver stabilito le regole, si stabilirono anche le formule matematiche per poter conoscere in anticipo la data della Pasqua. Ovviamente, poichè in quell'epoca era in vigore il Calendario Giuliano, la formula fu adottata in base alle sue caratteristiche.
Prima di tutto bisogna conoscere in anticipo a quali giorni della settimana corrisponderanno i giorni dell'anno. Per fare questo si tiene conto del fatto che se l'anno non è bisestile, nell'anno seguente il primo giorno dell'anno cadrà nel giorno di settimana immediatamente seguente a quello con cui è iniziato l'anno di riferimento. Ad esempio, il primo giorno di quest'anno (2015) è stato un Giovedì; non trattandosi di anno bisestile, noi sappiamo che il primo giorno del prossimo anno 2016 sarà certamente un Venerdì. Applicando le adeguate correzioni relative agli anni bisestili (scalare in avanti di un giorno), noi sappiamo che il meccanismo funziona per sette cicli di quattro anni, cioè per 28 anni consecutivi, prima di variare. In questo modo noi possiamo sapere, per gruppi di 28 anni, a quale giorno della settimana corrisponderà il primo giorno dell'anno.
A questo punto è facile sapere quando cadranno tutte le domeniche dell'anno. La Chiesa adotta, per questo scopo, la cosidetta "Lettera Domenicale".
Il procedimento per calcolare la Lettera Domenicale è abbastanza complesso e si basa sulla divisione degli anni in due parti, quella "secolare" (le prime due cifre) e quella "non secolare" (le altre due cifre); tramite una serie di operazioni aritmetiche (si divide per 4 il numero secolare dell'anno, si raddoppia il resto della divisione, al risultato si aggiunge 1 e si ottiene un numero "a". Si divide per 4 la parte non secolare dell'anno, si aggiunge il dividendo al quoziente, si divide la somma per 7, si sottrae il resto da 7 e si ottiene un numero "b". Si sommano "a" e "b", si divide per 7, e il resto della divisione indica la lettera domenicale tenendo conto che 1=A, 2=B, 3=C, 4=D, 5=E, 6=F e 0=G) si ottiene la Lettera Domenicale, tenendo ben presente, inoltre, che per gli anni bisestili le Lettere Domenicali sono due (la prima si utilizza da Gennaio a Febbraio e la seconda per il resto dell'anno).
Fatto questo, rimane da calcolare il giorno in cui avviene il primo plenilunio dopo l'Equinozio di Primavera.
Per fare questo si utilizza una formula elaborata dall'astronomo greco Metone, il quale accertò che la coincidenza di una fase lunare con lo stesso giorno dell'anno si ripete ogni 19 anni. In pratica, se quest'anno il primo plenilunio si verifica il 12 Gennaio, affinchè questa coincidenza si verifichi nuovamente si dovranno aspettare diciannove anni ed ognuno di questi sarà caratterizzato da uno specifico numero, definito tecnicamente "Numero d'Ordine", che si ricava calcolando il resto della divisione dell'anno per il numero degli anni di un ciclo lunare (19). Ad esempio, per l'anno 2015 il numero d'ordine che si ottiene è 1. Questo numero è anche detto "Numero d'Oro". A questo punto, mediante apposite tabelle, si riesce a conoscere il giorno in cui si verificano tutti i pleniluni dell'anno e, di conseguenza, si può stabilire la data della Pasqua.
Ma, come abbiamo detto, questa formula era stata elaborata dal Concilio di Nicea, quando ancora era in vigore il Calendario Giuliano. In occasione della modifica del Calendario, effettuata dal Papa Gregorio XIII nel 1582, si dovette modificare anche la formula per adattarla ai nuovi metodi di calcolo del calendario. Il metodo di determinazione delle Domeniche venne modificato per fare in modo che non venisse sfalsato dalle alterazioni che si verificano ogni 40 anni per via dell'inserimento degli anni "secolari bisestili" mentre la formula di Metone per ricavare il Numero d'Ordine venne eliminata poichè si era dimostrata troppo imprecisa in quanto non teneva conto del fatto che il ciclo lunare non dura 19 anni esatti, ma è più lungo di 2 ore e 5 minuti, scarto di piccola entità che però, nel corso dei secoli, avrebbe portato ad accumulare giorni, settimane e mesi di differenza tra il plenilunio reale e la sua previsione matematica.
Giglio, ideatore del Calendario Gregoriano, risolse anche questo problema sostituendo al Numero d'Oro l'"epatta", cioè la cosidetta "età della Luna". In pratica, l'epatta, che si esprime in giorni interi, stabilisce esattamente la fase della Luna al Primo Gennaio indicando quanti giorni sono trascorsi dall'ultima lunazione dell'anno precedente. Sapendo che la durata del mese lunare è di 29 giorni e mezzo, mediante appositi calcoli che tengano conto degli anni bisestili e del fatto che in tre secoli su quattro c'è un anno bisestile in meno, si ottiene l'epatta precisa dell'anno in corso, che viene sostituita nelle tabelle al vecchio Numero d'Ordine, ricavando così la data della Pasqua nel Calendario Gregoriano.
C'è da dire che questo metodo di calcolo dell'epatta, pur essendo precisissimo, può portare allo sfasamento, rispetto al reale verificarsi del plenilunio, di un giorno in più od in meno. La formula dovrebbe, quindi, essere "aggiustata" mediante l'adozione dei risultati delle moderne misurazioni astronomiche, ma la Chiesa ritiene che questo errore non produca effetti ai fini della determinazione della data della Pasqua e, pertanto, continua ad adottare il metodo elaborato da Luigi Giglio.

Ma se la Chiesa si è fermata qui, altrettanto non si può dire del mondo scientifico e, soprattutto nel XIX secolo, ci sono stati diversi astronomi e matematici che hanno affrontato il problema per arrivare a definire regole più precise e nel contempo più organiche ed in sintonia con gli enormi progressi che la scienza aveva fatto nel frattempo. Uno di questi studiosi fu Carl Friedrich Gauss, uno dei più brillanti ed importanti matematici di tutti i tempi, considerato il padre dell'algebra moderna.
Nato nel 1777 a Brunswick, si rivela subito come un "Bambino prodigio"; famoso, a questo proposito, l'aneddoto che egli, all'età di dieci anni, abbia calcolato a memoria in pochi secondi la somma di tutti i numeri da 1 a 100. All'età di ventidue anni si laurea con una tesi che diventerà uno dei pilastri fondamentali della matematica e che viene comunemente denominata "teorema fondamentale dell'algebra". Dopo soli due anni pubblica uno dei suoi testi più importanti, il "Disquisitiones Arithmeticæ", dove tratta una serie di argomenti matematici e che diventa un testo fondamentale nel campo della teoria dei numeri. Si dedica anche all'astronomia ed alla fisica ed in questo campo formula la cosidetta "legge di Gauss", che tratta dei fenomeni di interazione tra cariche elettriche statiche (elettromagnetismo). Le sue opere spaziano anche nel campo della teoria delle probabilità (con la sua "curva di Gauss"), nella geometria ed in tanti altri campi, compresa la finanza (pare che le sue osservazioni ed i suoi studi dei mercati finanziari dell'epoca gli abbiano consentito di guadagnare una discreta fortuna...) e lasciando ai suoi successori spunti ed appunti di lavoro che permetteranno loro di risolvere alcuni dei maggiori problemi della matematica e della fisica moderna.
Curioso ed attratto da tutti gli aspetti della matematica, Gauss -nel 1800- rivolge le sue attenzioni anche al problema del calcolo della data della Pasqua e pubblica quattro paginette nelle quali espone quella che diventerà la "regola di Gauss", cioè una formula semplice ma sbalorditivamente precisa che, sostituendosi alla complicata formula precedente, consente di calcolare la data della Pasqua, una volta definite alcune variabili, con due semplici passaggi. Con questa formula si possono calcolare le date della Pasqua per periodi molto lunghi (centinaia di anni) ed è attualmente utilizzata nei programmi computerizzati che vengono creati a tale scopo. Ve la esponiamo qui di seguito:

Definiamo dapprima il valore delle variabili:

ANNO = Anno di cui si desidera calcolare la data della Pasqua
M = 24 (Valido per il periodo dal 1900 al 2099)
N = 5 (Valido per il periodo dal 1900 al 2099)
A = RESTO DI (ANNO/19)
B = RESTO DI (ANNO/4)
C = RESTO DI (ANNO/7)
D = RESTO DI ((19*A+M)/30)
E = RESTO DI (((2*B)+(4*C)+(6*D)+N)/7)


Dopodichè applichiamo la Regola di Gauss:

PASQUA = 22+D+E (se il risultato è inferiore a 32 indica il giorno del mese di Marzo; se supera 31 applicare la formula seguente)
PASQUA = D+E-9 (indica il giorno del mese di Aprile)


Per provare il funzionamento di questa formula e calcolare il giorno della Pasqua per gli anni dal 1900 al 2099, abbiamo preparato un algoritmo che potete trovare presso questo link.

Buona Pasqua a tutti!



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